Hier werden ein paar interessante alltägliche Probleme gelöst - mit oft
überraschenden Lösungen.
Die meisten Probleme und Lösungen sind frei von
| Stichwort: | Grundlagen I |
| Problem: |
Zur Einstimmung ein paar einfache Fragen (quasi zum Aufwärmen): 1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Sack mit 100 Kugeln eine ganz bestimmte Kugel zu ziehen? 2.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Sack mit 10 roten und 20 schwarzen Kugeln eine rote Kugel zu ziehen? 3.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit wenn 2 Münzen geworfen werden, daß beide 'Kopf' zeigen? 4.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einer Keksdose mit jeweils einem Butter-, Öko- und Schokokeks zuerst den Öko- und Schokokeks zu erwischen (der Butterkeks bleibt zurück)? 5.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Sack mit 100 nummerierten Kugeln eine ganz bestimmte Kugel zu ziehen und anschließend bei einem Münzwurf 'Kopf' zu werfen? |
| Antwort: |
zu 1.: 1/100 oder 1:99 oder 1% zu 2.: 1/3 oder 1:2 oder 33,3% zu 3.: 1/4 oder 1:3 oder 25% zu 4.: 1/6 oder 1:5 oder 16,6% zu 5.: 1/200 oder 1:199 oder 0,5% |
| Erklärung: |
Na 1
zu 1.: p(A) = -- = ---
N 100
Na Nr 10 1
zu 2.: p(A) = -- = ------- = ------- = -
N Nr + Ns 10 + 20 3
Na Nb 2 2 1
zu 3.: p(A und B) = p(A) * p(B) = -- * -- = - * - = -
N N 4 4 4
zu 4.: Nach dem Ziehen des ersten Kekses (Wahrscheinlichkeit 1:2) bleibt eine
Wahrscheinlichkeit von 1:1 für den nächsten Keks.
1 1 1
p(S und Ö) = p(S) * p(Ö wenn S) = - * - = -
3 2 6
1 1 1
zu 5.: p(A und B) = p(A) * p(B) = --- * - = ---
100 2 200
|
| Stichwort: | Grundlagen II |
| Problem: |
Noch ein paar einfache Fragen: 1.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel und einem Wurf keine '3' oder '4' zu würfeln? 2.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit drei Würfeln und einem Wurf mindestens eine '3' oder '4' zu würfeln? 3.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel und drei Würfen mindestens eine '3' oder '4' zu würfeln? 4.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einem Sack mit 100 nummerierten Kugeln eine ganz bestimmte Kugel in 13 Versuchen zu ziehen wenn jedesmal 3 Kugeln gleichzeitig gezogen und die Kugeln danach immer wieder zurückgelegt werden? |
| Antwort: |
zu 1.: 2/3 oder 2:1 oder 66,6% zu 2.: 0,962% zu 3.: wie 7. zu 4.: 0,39 oder 39% |
| Erklärung: |
zu 1.: p(nicht A) = 1 - p(A) = 1 - - = -
6 3
3 3
zu 2.: p(Wg) = 1 - p(W1) * p(W2) * p(W3) = 1 - p(W) = 1 - (2/6) = 0,962
zu 3.: Lösungsweg wie 7.
Na 3
zu 4.: p(A) = -- * V = --- * 13 = 0,39
N 100
|
| Stichwort: | Grundlagen III |
| Problem: |
Und noch ein paar einfache Fragen: 1.) Wieviele verschiedene Anordnungen/Muster sind bei 6 verschiedenen Elementen möglich? 2.) Wieviele verschiedene Fälle sind möglich in denen von 6 Münzen 3 'Kopf' zeigen? 3.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 6 geworfenen Münzen genau 3 davon 'Kopf' zeigen? 4.) In einer Urne sind 6 von 1 bis 6 nummerierte Kugeln. Jemand zieht 4 Kugeln ohne sie zurückzulegen. Wie viele Ziffernfolgen sind möglich? 5.) Wie groß ist die Chance für 6 Richtige im Lotto ('6 aus 49')? 6.) Wie groß ist die Chance für einen konkreten Spieler nach der Anzahl Spiele der ermittelten Zahl von Frage 14 immer noch ohne 6 Richtige dazustehen? |
| Antwort: |
zu 1.: 6! oder 720 zu 2.: 20 zu 3.: 5/16 oder 31,25% zu 4.: 360 zu 5.: 1/13983816 zu 6.: 0,36 oder 36% |
| Erklärung: |
zu 1.: n! = 6! = 720
6! 720
zu 2.: ------- = --- = 20
3! * 3! 36
Na 20 20 5
zu 3.: p(A) = -- = ------ = -- = -- = 0,3125
N 6 64 16
(2)
n! 6! 720
zu 4.: (n) = -------- = -------- = --- = 360
s (n - s)! (6 - 4)! 2
n! 49!
zu 5.: ------------- = -------------- = 13983816
s! * (n - s)! 6! * (49 - 6)!
13983816
zu 6.: ((13983816 - 1) / 13983816) = 0,36
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| Stichwort: | Der heimwehkranke Blumentopf |
| Problem: |
Bei einer Party stiftet jeder Gast ein Geschenk, dann werden die Geschenke zufällig an alle Gäste verteilt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt mindestens ein Gast sein eigenes Geschenk zurück? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit wenn man von 2 gut gemischten Kartenstapeln jeweils eine Karte gleichzeitig aufdeckt daß mindestens einmal 2 gleiche darunter sind? Der Teufel und der liebe Gott legen jeweils eine Karteikarte für jeden Menschen an die sie fortlaufend durchnummerieren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine bestimmte Person in beiden Karteien die gleiche Nummer? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daß mindestens irgendeine Person in beiden die gleiche Nummer hat? |
| Antwort: |
Für den Einzelnen liegt die Wahrscheinlichkeit immer bei 1:Gruppengröße. Bei 1 Person liegt die Wahrscheinlichkeit bei 100%. Bei 2 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50%. Bei 3 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 66,6%. Bei 4 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 62,5%. Bei einer Gruppengröße ab 5 liegt die Wahrscheinlichkeit bei 63,2% relativ konstant. |
| Erklärung: |
Für den Einzelnen ist die Wahrscheinlichkeit normalerweise sehr gering. Das jedoch mindestens irgendein Paar zusammenpasst ist sehr wahrscheinlich. 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + 1/5! ... => 0,6321 |
| Stichwort: | Geburtstagsparadox I |
| Problem: | Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 Personen in einer zufällig zusammengewürfelten Menschenmenge am gleichen Tag Geburtstag? |
| Antwort: |
Bei mehr als 366 Menschen absolut sicher da es nur 365 Tage gibt (bzw. 366 im Schaltjahr).
Gruppengröße Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit,
daß alle verschieden für mind. 2 gleiche
2 99,7 0,3
3 99,1 0,9
4 98,4 1,6
5 97,3 2,7
...
20 58,9 41,1
21 55,6 44,4
22 52,4 47,6
23 49,3 50,7
...
30 29,4 70,6
40 10,9 89,1
50 3,0 97,0
|
| Erklärung: |
Die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Geburtstage ist: 365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * ... => z.B.: 0,991 = 99,1% für 3 Personen Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gemeinsamen Geburtstag ist: 100% minus der obigen Prozentzahl => z.B.: 1 - 0,991 = 0,9% für 3 Personen |
| Stichwort: | Geburtstagsparadox II |
| Problem: | Wie groß muß eine zufällig zusammengewürfelte Menschenmenge sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% 3, 4, 5, 6, ... Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? |
| Antwort: |
Menschen die am gleichen Benötige Menschenmenge für eine
Tag Geburtstag haben Wahrscheinlichkeit von mehr als 50%
2 23
3 88
4 187
5 313
6 460
7 623
8 798
9 985
10 1181
11 1385
12 1596
13 1813
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| Erklärung: |
Komplizierte Rechnung - aber ein Beispiel zur Veranschaulichung: In mehr als der Hälfte aller deutschen Schulen mit mehr als 1000 Schülern werden wahrscheinlich mindestens 9 Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben. |
| Stichwort: | Ziegenproblem (Gewinnshow) |
| Problem: |
Bei einer Gewinnshow stehen 3 geschloßene Türen zur Auswahl. Hinter einer Tür wartet der Preis (ein Auto),
hinter den beiden anderen warten Ziegen. Sie wählen eine Tür (z.B. Tür Nr.1) die aber noch geschloßen bleibt.
Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet - er öffnet Tür Nr.3 und eine Ziege schaut heraus.
Er fragt: "Bleiben Sie bei Tür Nr.1 oder wollen Sie zu Nr.2 wechseln?" Was ist die richtige Wahl? |
| Antwort: | Wechseln statt bei der ersten Wahl bleiben. Die Wahrscheinlichkeit für Tür Nr.2 steht bei 2/3 - nicht 50:50 wie man vielleicht denkt! |
| Erklärung: |
Darüber gibts ganze Bücher u.a. mit Berichten von kompletten Testreihen mit Hunderten von Durchgängen, mathematischen Beweisen,
Computerasimulationen usw. usw. :-) Eine der kürzeren Antworten daraus: - Die Wahrscheinlichkeit, daß der Wagen hinter der erstgewählten Tür Nr.1 ist, beträgt 1/3. - Die Wahrscheinlichkeit, daß der Wagen hinter einer der beiden anderen Türen ist, beträgt 2/3. - Wenn ich (durch den Moderator) nun erfahre, hinter welcher der beiden Türen er nicht ist, bleibt eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 für die andere Tür. Noch anschaulicher wirds wenn man das Ganze mit 100 Türen durchspielt (der Moderator öffnet 99)- dann steigen die Chancen durch Wechsel auf 99%. |
| Stichwort: | Wem gehört der Fisch? |
| Problem: |
Die Regeln:
1.Der Brite lebt im roten Haus.
2.Der Schwede hält einen Hund.
3.Der Däne trinkt gerne Tee.
4.Das grüne Haus steht links vom weißen Haus.
5.Der Besitzer vom grünen Haus trinkt Kaffee.
6.Die Person, die Pall Mall raucht, hält einen Vogel.
7.Der Mann, der im mittleren Haus wohnt, trinkt Milch.
8.Der Besitzer des gelben Hauses raucht Dunhill.
9.Der Norweger wohnt im ersten Haus.
10.Der Marlboromann wohnt neben dem, der eine Katze hält.
11.Der Mann, der ein Pferd hält, wohnt neben dem, der Dunhill raucht.
12.Der Winfieldraucher trinkt gerne Bier.
13.Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.
14.Der Deutsche raucht Rothmanns.
15.Der Marlboromann hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.
Die Frage: Wem gehört der Fisch?
|
| Antwort: | Dem Deutschen. |
| Erklärung: |
7.Der Mann, der im mittleren Haus wohnt, trinkt Milch.
9.Der Norweger wohnt im ersten Haus.
13.Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : blau
nation : norweger
getränk : milch
tabak :
tier :
4.Das grüne Haus steht links vom weißen Haus.
5.Der Besitzer vom grünen Haus trinkt Kaffee.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : blau grün weiss
nation : norweger
getränk : milch kaffee
tabak :
tier :
1.Der Brite lebt im roten Haus.
8.Der Besitzer des gelben Hauses raucht Dunhill.
11.Der Mann, der ein Pferd hält, wohnt neben dem, der Dunhill raucht.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : gelb blau rot grün weiss
nation : norweger brite
getränk : milch kaffee
tabak : dunhill
tier : pferd
(3.) in haus 1 kein tee wegen norweger
(12.) in haus 1 kein bier wegen dunhill
-> bleibt nur wasser für haus 1
15.Der Marlboromann hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : gelb blau rot grün weiss
nation : norweger brite
getränk : wasser milch kaffee
tabak : dunhill malboro
tier : pferd
10.Der Marlboromann wohnt neben dem, der eine Katze hält.
(12.) in haus 2 kein bier wegen malboro -> bleibt nur tee.
-> jetzt gehts schnell: für haus 5 bleibt nur bier
-> der däne wohnt also in 2
12.Der Winfieldraucher trinkt gerne Bier.
14.Der Deutsche raucht Rothmanns.
-> der deutsche raucht in 4 rothmanns weil er keine winfields mag
-> der brite raucht das was übrig geblieben ist
haus : 1 2 3 4 5
farbe : gelb blau rot grün weiss
nation : norweger däne brite deutscher
getränk : wasser tee milch kaffee bier
tabak : dunhill malboro pall mall rothmanns winfield
tier : pferd
2.Der Schwede hält einen Hund.
-> der schwede zieht mit seinem hund in das einzig freie haus
6.Die Person, die Pall Mall raucht, hält einen Vogel.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : gelb blau rot grün weiss
nation : norweger däne brite deutscher schwede
getränk : wasser tee milch kaffee bier
tabak : dunhill malboro pall mall rothmanns winfield
tier : pferd vogel hund
10.Der Marlboromann wohnt neben dem, der eine Katze hält.
haus : 1 2 3 4 5
farbe : gelb blau rot grün weiss
nation : norweger däne brite deutscher schwede
getränk : wasser tee milch kaffee bier
tabak : dunhill malboro pall mall rothmanns winfield
tier : katze pferd vogel hund
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| Stichwort: | Anfangsziffer-Häufigkeit |
| Problem: | Welche Anfangsziffer (1-9) einer zufälligen Zahl ist am wahrscheinlichsten? (ohne Telefonnummern und Datumsangaben) |
| Antwort: |
Ziffer Wahrscheinlichkeit
1 30,1%
2 17,6%
3 12,5%
4 9,7%
5 7,9%
6 6,7%
7 5,8%
8 5,1%
9 4,6%
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| Erklärung: |
Schwieriger Beweis der aber zur folgenden Formel führt: log(z+1)-log(z) => z.B.: für Ziffer 3 => log(3+1)-log(3) = 0,125 log() = Logarithmus zur Basis 10 |
| Stichwort: | 'Global-Village'-Paradox |
| Problem: | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine wildfremde Person in Deutschland über 2 'Ecken' (Mittelspersonen) zu kennen? |
| Antwort: | ca. 70% |
| Erklärung: |
Definition: Ein Bekannter ist eine Person die ich mit Namen kenne und/oder auf der Straße grüße.
(Bäcker, Tankwart, Bekannte der Eltern, ... - und deren Familienangehörige, Freunde, ...) Ausgehend von 1000 mir Bekannten, die wiederum 1000 Bekannte haben ergeben sich 1000000 Menschen die sich kennen. Viele Personen dieser Million werden identisch sein - unterstellen wir deshalb daß nur 10% davon (100000) wirklich verschiedene Personen sind. Deutschland hat ca. 80 Millionen Einwohner. Wenn eine mir scheinbar wildfremde Person jetzt ihrerseits 1000 Bekannte hat, so ist unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von
1000
1 - (79900000 / 80000000) = 71,4%
eine Person von meinen 100000 Bekannten.
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| Stichwort: | Der unsterbliche Affe |
| Problem: | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daß ein unsterblicher Affe der auf einer Schreibmaschine herumhämmert irgendwann einmal das 'Vater Unser' tippt? |
| Antwort: | 100% |
| Erklärung: |
Normalerweise gegen 0 - aber bei sehr großen Texten (d.h. je länger der Affe tippt) irgendwann gegen 1. Das gilt für jeden Text.
Anzahl Buchstaben von 'Vater Unser' = 290
Anzahl Buchstaben Alphabet = 26
Zufallstext genauso lang wie 'Vater Unser':
290
(1 / 26) = wirklich sehr klein :-)
Zufallstext doppelt lang wie 'Vater Unser':
2
( )
( 290) = ein wirklich kleines bisschen größer :-)
1 - (1 - (1/26) )
Zufallstext 1000000 mal so lang wie 'Vater Unser':
1000000
( )
( 290) = noch ein kleines bisschen größer :-)
1 - (1 - (1/26) )
... der Zufallstext muß also nur lang genug werden.
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